Kenneth Arrow y la imposibilidad de complacer a todos

Kenneth Arrow y la imposibilidad de complacer a todos

Tiempo de lectura: 5 minutos

Como cada periodo electoral, los partidos políticos y aspirantes a ser funcionarios públicos, dan a conocer sus propuestas, principios y planes de trabajo. Si ya has tenido oportunidad de votar, has de saber que elegir a un solo candidato a veces no es tarea fácil. En ocasiones somos afines a las propuestas de uno pero nos intriga el grupo de trabajo de otro, estamos de acuerdo en algunas posturas pero rechazamos otras, creemos confiar en el candidato pero no en el partido… qué decir del llamado “voto útil”, en el que se decide votar por un candidato aún cuando no es el preferido con tal de que no resulte ganador el candidato cuyo triunfo no se desea.

¿Qué pasaría si en lugar de elegir a uno pudiéramos enlistar a los candidatos en orden de preferencia? ¿Existirá un sistema capaz de considerar las preferencias de los ciudadanos para elegir al candidato con mejor preferencia colectiva?

En los años 50, Kenneth Arrow, en ese entonces estudiante de doctorado de la Universidad de Columbia, buscó analizar un fenómeno social (la toma de decisiones colectivas) a través de razonamiento matemático. Se preguntó si existe algún procedimiento de elección que transforme un conjunto de preferencias individuales conocidas en una decisión colectiva y que cumpla con condiciones básicas o axiomas de racionalidad. Dichos axiomas fueron:

1. Dominio no restringido.

Estipula que los votantes pueden organizar sus preferencias de la forma que quieran y que todas las preferencias deben ser consideradas.

2. Que exista transitividad. “Para toda x, y, z; xPy y yPz implican xPz”

Es decir, que la decisión colectiva sea coherente y consistente con las preferencias individuales. Por ejemplo, si A es preferida sobre B y B es preferida sobre C, automáticamente A es preferida sobre C.

3. Que haya independencia de alternativas irrelevantes. “Sean R y R’ dos conjuntos de preferencias, se cumple xRy y xR’y ”

Este supuesto se refiere a que la decisión colectiva debe ser la misma, independientemente de que exista o se descarte alguno de los candidatos. Es decir, si A es preferida sobre B y C, A debe seguir siendo preferida sobre B aún si C fuera descartada.

4. La unanimidad debe mantenerse.

La decisión colectiva no debe resultar opuesta a las preferencias individuales cuando sean unánimes. Es decir, si todos los votantes prefieran a A sobre B, la decisión colectiva no puede preferir a B sobre A.  

5. No dictadura.“Existe un individuo i tal que para toda x, y;  xPi y implica xPy”  

La decisión colectiva no debe ser determinada por las preferencias de una sola persona. (Esta condición sigue uno de los principios fundamentales de la democracia).

Paradoja de Arrow

Al evaluar los diferentes métodos de elección que existen, Kenneth se dio cuenta de que, al existir por lo menos dos votantes y tres alternativas a elegir, no todos los axiomas se cumplen.

Por ejemplo, supongamos que tres amigos tienen que votar para elegir el tipo de pizza que van a comprar. Para ello, cada uno ordena sus preferencias de la siguiente manera:

Individualmente, Pablo ordenó las opciones como Pepperoni>Hawaiana >Queso, por lo que prefiere Pepperoni>Queso, cumpliéndose el principio de transitividad. Lo mismo ocurre con las preferencias individuales de Miranda y Alex.

Ahora, al comparar las preferencias colectivas, tenemos que:

En donde, la decisión colectiva prefiere Queso> Pepperoni y Pepperoni>Hawaiana. De aquí pensaríamos por lógica, que prefieren pizza de queso sobre pizza Hawaiana. Sin embargo, esto no se cumple, ya que dos personas prefieren pizza Hawaiana sobre pizza de queso y se registró un voto por pizza de queso por encima de la Hawaiana. Por lo tanto, el principio de transitividad no se cumple al tomar una decisión colectiva.

Exploremos ahora el principio de independencia de alternativas irrelevantes. Supongamos que un grupo de amigos tiene que elegir el sabor de helado para el postre: fresa, vainilla, chocolate o napolitano. Deciden asignar 3 puntos al helado de su preferencia, 2 y 1 a la segunda y tercer preferencia respectivamente y 0 a su última opción. Ordenan las alternativas de la siguiente forma:

Al clasificar las opciones según la puntuación que obtuvieron, la decisión colectiva queda de la siguiente manera: Chocolate>Vainilla>Fresa>Napolitano.

Sin embargo, al llegar a la tienda les informan que se acabó el helado napolitano, por lo que deciden reorganizar los puntajes, eliminando la opción de ese sabor de helado. Las preferencias quedan organizadas de la siguiente manera:

Al sacar la nueva puntuación final, tenemos un nuevo orden de preferencia colectiva: Fresa>Vainilla>Chocolate. ¡Totalmente opuesto!

El orden de preferencia en la decisión colectiva resulta completamente diferente al descartar una de las alternativas, lo que nos hace notar que no se cumple el principio de independencia de alternativas irrelevantes

Así como los ejemplos anteriores, existen varios, lo que llevó a Kenneth a concluir que al transformar un conjunto de preferencias individuales en una preferencia colectiva, se violan los axiomas de racionalidad. Paradójicamente, Arrow cayó en cuenta de que en sistemas con al menos tres alternativas a elegir, en donde los votantes sean libres de ordenar sus preferencias de cualquier manera, el único método de elección que cumple todas las condiciones de racionalidad, es el impositivo o dictatorial.

Teorema de Imposibilidad

Kenneth Arrow (1921-2017) obtuvo el Premio Nobel de Economía en 1972 junto con John Hicks.
Ilustración: Maru Bernal

Después de analizar los diferentes sistemas de votaciones a través del pensamiento lógico matemático establecido según los principios de racionalidad, Arrow demostró que no existe ningún método de elecciones con más de dos candidatos, que sea capaz de transformar decisiones individuales en una decisión colectiva cumpliendo al mismo tiempo con  todos los principios de racionalidad y democracia.

Su trabajo fue publicado como un artículo en el Journal of Political Economy en 1950 y un año después, Arrow publicó la obra Social Choice and Individual Values, una monografía en donde desarrolla su teorema y las matemáticas detrás de él. Su trabajo representó un parteaguas para el estudio de la elección social, una rama de la economía.

Entonces…¿la democracia no existe?

Después de entender la Paradoja de Arrow y el Teorema de Imposibilidad, el trabajo de Kenneth Arrow puede ser malinterpretado como evidencia de que los sistemas democráticos están destinados a fracasar. Sin embargo, el propio académico aclaró en repetidas ocasiones que su trabajo no llega a esa conclusión. Las distintas formas de organización social y métodos de elecciones son sistemas complejos que involucran múltiples aspectos además del matemático. Hay que considerar que existen métodos de elecciones alternativos a los métodos de clasificación de preferencias, así como tener en cuenta que los sistemas de elecciones no son estáticos, están en continuo perfeccionamiento con la intención de reducir sesgos y riesgo de manipulación lo más posible.

Bibliografía

Arrow, K. (1950). “A difficulty in the concept of Social Welfare”. The Journal of Political Economy. 58 (4): 328-346.

Hamlin, A. (2017, 28 de febrero). Remembering Kenneth Arrow and His Impossibility Theorem. The Center for Election Science. Recuperado de https://electionscience.org/commentary-analysis/voting-theory-remembering-kenneth-arrow-and-his-impossibility-theorem/

Lever-Guzmán, C. (2014, 21 de marzo). “Dilemas económicos: Teorema de Arrow.” Letras libres. Recuperado de www.letraslibres.com/mexico-espana/dilemas-economicos-teorema-arrow

LÜtzen, J. (2019). “How mathematical impossibility changed welfare economics: A history of Arrow’s impossibility theorem”. Historia Mathematica. 46: 56-87.

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